史密斯圆图与匹配电路基础

史密斯圆图是复数反射系数（伽玛 $\Gamma$）的极坐标图。这种图以复数阻抗的实部和虚部同时绘制。其中，实部 R 的范围为 0 到无穷大（$\infin$），虚部 X 的范围为从负无穷大到正无穷大，都能绘制在一张图上。史密斯圆图能表现的参数与功能包括但不限于：

• 复阻抗
• 复反射系数
• 电压驻波比 VSWR
• 传输线效应
• 设计阻抗匹配网络

归一化阻抗

我们首先要把复阻抗转化为归一化阻抗，然后才能绘制在史密斯圆图上。归一化阻抗等于 实际阻抗 除以 系统阻抗：

$$Normalized Z=\frac{Actual Z}{System Z_0}$$

在大多数情况下，系统阻抗为 50Ω，所以基本是实际阻抗除以 50Ω。举个例子，假如实际阻抗值是 (37+j55)Ω，则归一化阻抗的值算出来约为 (0.74+j1.10)Ω。

史密斯圆图详解

在史密斯圆图上，中间横向的主轴为纯电阻轴（R）。在此轴上，电抗恒为 0。在主轴上方的区域（R+jX），电抗呈现感性；而在下方的区域（R-jX），负电抗呈现容性。

关键点

史密斯圆图上有一些关键点。最中间的点表示系统阻抗（在 50Ω 阻抗的系统中，中间这一点就代表 50Ω 阻抗值）。沿着主轴，最右边的点代表开路（阻抗无穷大）；最左边的点代表短路（阻抗为 0）。

恒电阻圆

在恒电阻圆上的点，其归一化电阻（实部）为常数。比如其中通过中心点的圆，其电阻为 1（50Ω），即归一化阻抗的实部为 1。在图中呈现的，分别还有归一化阻抗的实部为 0.4 和 3.0 的恒电阻圆：

恒电抗弧

恒电抗弧从开路点延伸出来，落在弧上面的点，表示的是电抗的值，即复阻抗的虚部。弧度越大，电抗的绝对值越大，随着弧度变小，电抗的绝对值会越来越小，直到变为 0（落在纯电阻轴，不呈现感性或容性）。在图中呈现的，分别还有电抗值 ±0.5（虚部为 ±j0.5），±1.0（虚部为 ±j1.0）的恒电抗弧：

将复阻抗转换为复导纳

导纳（Admittance，Y）是阻抗的倒数，电导（Conductance，G）是电阻的倒数，电纳（Susceptance，B）是电抗的倒数。如果它们是复数，计算起来会非常复杂。但在史密斯圆图上，我们只需要以中心点为圆心，画一个经过复阻抗 Z' 点的圆，即可在它的另一侧找到对应的复导纳值 Y'。

举个例子，假如 Z'=1+j1.1，则其对应的 Y'=0.45-j0.5。

如果是一条复阻抗曲线，那么可以把史密斯圆图旋转 180°，得到的曲线就是复导纳曲线了。

恒电导圆和恒电纳弧

完整的史密斯圆图上，还呈现了 恒电导圆 和 恒电纳弧，在下图以蓝线标记：

在史密斯圆图上标定一般值

在史密斯圆图标定一般值，如 Z=25+j40。首先我们先按 50Ω 阻抗对其进行归一化处理，计算得 Z'=0.5+j0.8。由此，我们可以在图上寻找 R'=0.5 的圆与 X'=0.8 的弧，它们的交点就是所求的 Z'：

史密斯圆图的径向缩放参数

一般来说，史密斯圆图底下还有径向缩放参数轴。假设图中有一复阻抗点，连接它与中心点，并沿着半径旋转到主轴上，投影到径向缩放参数轴上，如图：

在此轴上可读出一些参数：

• 电压驻波比（VSWR）：2.3:1
• 回波损耗（Return Loss）：8.10dB
• 反射系数（Reflection Coefficient）
  • 电压：0.155
  • 功率：0.39

不仅如此，我们也可以发现，出现在这个半径圆上的点，这些参数都是相同的。

驻波比与传输线的关系

在前文我们提到，在以系统阻抗（中心点）为圆心，到复阻抗点的距离为半径绘制的圆，圆上不同阻抗的点，其驻波比（SWR）都是相等的。在圆上转一圈的长度，相当于 1/2 波长值。所以，传输线长度每增加一半波长值时，复阻抗会沿着圆转多一圈。

由此可得，从源端到天线的传输线的长度，应尽量控制在天线半波长的整数倍，才能使观测的阻抗与天线的实际阻抗不发生偏移。如果长度为一般值，则可在 SimNEC 仿真软件内使用传输线的模型进行补偿。

还有一个有趣的现象，如果末端为开路的传输线长度为 1/4 波长值（转半圈），那么它看起来就像是短路的；反之如果末端为短路的传输线，长度为 1/4 波长值，则观测出来的特征就像是开路的：

匹配电路的设计

通常我们会在电路中串联或并联电感和电容，移动复阻抗点，以匹配阻抗。

• 串联电感：沿恒电阻圆顺时针方向移动。
• 串联电容：沿恒电阻圆逆时针方向移动。
• 并联电感：沿恒电导圆逆时针方向移动。
• 并联电容：沿恒电导圆顺时针方向移动。

定性地看，不管是串联还是并联，加电感会使复阻抗点往上走，而加电容会往下走。

简单的 L 型匹配电路

假设当前电路实测复阻抗值为 $Z_L$，我们需要把它调到理想的 $Z_0$（最好的是中心点，次之在 50Ω 的电阻圆上），则可以用电感或电容组成简单的 L 型状的匹配电路，使复阻抗点在史密斯圆图上移动。电感或电容的组合，取决于初始 $Z_L$ 在史密斯圆图上的位置。可根据下图 $Z_L$ 的分布，挑选合适的组合构建 L 型匹配电路：

举个例子，初始复阻抗值 $Z_L$ 如下图（黑点），我们可根据小图提供的 L 型匹配电路的构造，把它调到理想的 $Z_0$ 上（红点）：

为了方便调试，我们在图上勾勒出标准恒导圆与恒阻圆。接下来的步骤可在 SimNEC 仿真软件内进行：

1. 串电感，沿恒电阻圆顺时针方向移动，直到碰到恒导圆。
2. 并电容，沿恒电导圆顺时针方向移动，直到中心点上。

方法大致可以归结为：从近负载端开始，添加第一个器件，使复阻抗点移动到标准恒导圆或恒阻圆上；添加第二个器件，使之沿着标准恒导圆或恒阻圆移动到中心点上。所选器件的值可在软件中读出。

对于实际匹配电路的调试，可跳转文章 一般天线匹配电路的设计。

参考与致谢

• 史密斯圆图：史密斯圆图的历史以及为什么对射频设计者如此重要
• Basics of the Smith Chart - Intro, impedance, VSWR, transmission lines, matching
• RF engineering basic concepts: the Smith chart

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